摘    要：为了解决移动机器人由于系统中存在不可积运动约束，不能直接应用旋量理论建模的问题，通过构造虚拟连杆首先把移动机器人转化成等价的固定基单自由度关节的开链机器人，然后基于运动旋量理论建立了移动机器人的运动模型，为移动机器人系统建模提供了一个简洁的新途径。基于所建立的移动机器人运动模型，设计了一个稳定的输出跟踪控制器：在Matlab下对移动机器人的建模和控制进行了仿真，验证了所提出的建模方法的可行性。

关键词：移动机器人；旋量理论；虚拟连杆；跟踪控制

中图分类号：TP 27    文献标识码iA

  近年来，受非完整约束移动机器人的控制得到了广泛的研究。文献[1]提幽了一种三轮移动机器人运动和动力学建模方法，并讨论了系统控制器的设计问题。文献[2]分析了各种移动机器人运动和动态模型的结构特性和分类，为移动机器人提供了一种通用的建模方法，此后关于移动机器人控制的文献几乎都采用了这种模型。在过去几十年里，人们充分地研究了固定基开链机器人的系统化建模方法，如牛顿一欧拉法、基于D-H连杆坐标系的拉格朗日法等，但是这些建模方法只适用于每个关节只有一个自由度的固定基开链机器人，对于移动机器人这种非固定基和多自由度关节的系统这些建模方法并不适用。本文提出了一种新的移动机器人建模方法。通过构造虚拟连杆，首先把移动机器人转化为等价的固定基单自由度关节的开链机器人，然后基于运动旋量理论建立移动机器人的运动模型，为移动机器人等非固定基多自由度关节刚体系统的建模提供了一种新途径。

    研究的移动机器人，如图1所示。

    

    为研究多自由度关节和非固定基多刚体系统动力学，文献[3]首次提出了虚拟连杆的概念。简单地说，就是通过在原系统中增加虚拟连杆，把多自由度关节或非固定基系统转化成等价的固定基单自由度关节的开链系统。

    其位形在惯性坐标系oxyz中可表示为g=[x，y，θ]，其中，z，y表示移动机器人的p点在惯性坐标系中的坐标；日表示移动机器人固连坐标系的x轴正向与惯性坐标系z轴正向之间的夹角。

    假设地面是刚性的，把移动机器人在地面上的运动看成一个具有平面副的刚体间的运动，那么移动机器人和地面之间就存在一个三自由度关节，这个三自由度关节惟…表征了移动机器人在惯性坐标系中的位形。下面将说明通过构造虚拟连杆，可以把移动机器人的这个三自由度关节等价地转化为3个固定基单自由度关节的顺序组合。

    在移动机器人的p点建立固连坐标系px，耳Zp=如果用齐次坐标表示机器人的位形，那么移动机器人在惯性坐标系中的位形用齐次变换矩阵表示为

    式(1)可表示为3个齐次变换矩阵的积，即：

  式(2)说明，移动机器人的位形可以通过两次沿惯性坐标轴的平移变换和～次旋转变换等效，或移动机器人的三自由度关节可等价的表示成3个单自由度固定基开链关节的顺序组合，如图2所示。

 

这样，多自由度非固定基的移动机器人就等价地转换成了固定基单自由度关节的开链机器人，而开链机器人的建模有多种比较成熟的方法可以利用。

    当给定基坐标和工具坐标时，与机器人各关节相对应的运动螺旋坐标提供了机器人运动学的完整参数。指数积公式与上述特点相结合，使得基于运动螺旋的指数积公式成为D-H参数的****替代。下面简要介绍一下运动旋量的有关概念，详细内容请参考文献[4]。

为得到n自由度任意开链机器人的运动学正解映射，设S为与机器人基座固定的坐标系，T为与机器人末端固定的坐标系，定义机器人的参考位形为机器人对应于θ=0时的位形，并用g(o)表示机器人位于参考位形时r与S之间的刚体变换。对每一个关节，构造一个运动旋量ξi属于R6，它对应于除第i个关节外所有其他关节都固定于θi=o位置时第i个关节的运动旋量。对于转动关节，运动旋量ξi为

    对于移动关节，运动旋量ξi为

 将各关节的运动加以组合，即得到运动学正解映射g：Q—SE(3)

  定义空间速度为

    其运动旋量坐标为

定义物体速度

其运动旋量坐

    基于图2所示的移动机器人等价结构，设系统的基坐标系初始参考位形见图2。用运动旋量坐标表示的各连杆参数为

  移动机器人上点e及左右轮质心位于参考位形时的刚体变换矩阵为

    由式(5)可得到左右轮质心的瞬时刚体变换矩阵为

 

    相应的左右轮质心刚体线速度坐标分量为

    假设移动机器人满足纯滚动和无侧滑的运动约束。由式(12)可得：

    设移动机器人系统的广义坐标为g=[x，y，θ，θL，θN]。，由式(13)得：

式（14）可以改写为：

    下面分析系统运动约束的结构。

用矩阵S(q)的两个列向量定义一个分布：△={s1(g)，s2(q)}，clim(△)=n-m，其中，△为其对合分布。为校验对合分布△，计算s1(q)，s3（q}的李导数：

    显然，s3（q）不属于△，即向量s1（q），s2（q）的李导数产生了新的方向矢量。继续s1(q)，s3（q）的李导数计算：

经验证知，S4（q）不属于△，由于S1(q)，S2(q)张成的分布是对合的，所以分布△的对合分布为

因此，式(13)表示的系统的3个运动约束中，有2个速度约束是非完整约束，一个速度约束通过积分可以转化成位置约束，是完整约束。由式(13)可得：

    两边积分得：

式中，θ0为与系统初始条件有关的常数。

    显然，式(17)是完整约束，即移动平台的方位角θ不是独立的变量，它由2个主动轮的转角和初始条件确定。移动平台的非完整约束为

  工具坐标系ex，y。Z的瞬时刚体变换矩阵为

设其在基坐标系中的位形为

    则：

 

    把式(15)代人式(20)得到在惯性坐标系中表示的工具坐标系ex,y,z的速度q，与移动机器人输入量田之间的关系：

    为验证所建运动模型的可行性，这里设计了一个简单的输出跟踪控制器，使移动机器人的参考点e跟踪给定的期望轨迹。设移动机器人的输出为yc= [Xc，yc]T，期望的运动轨迹为yd=[xd，yd]T。定义跟踪误差e(t) =y(q) -yd(t)。

    由式(20)，式(21)并经微分得

  

 

    定义跟踪控制器为

式(25)代人式(23)，得：

  仿真中移动机器人系统结构参数为r= 100,d= 200，f=100，c=10，单位mm，控制器参数kPI= 30，kp2=lO，kD1 =5，kD2 =5，期望轨迹X2十y2= 25。

    在Matlah中对系统进行仿真，仿真曲线，如图3—图5所示。

   

    仿真结果表明，以所提出的建模方法建立的移动机器人模型为依据设计的控制器，能实现移动机器人稳定的输出跟踪，从而间接地说明了该建模方式是可行的。

    受非完整约束的移动机器人是一个具有多自由度关节的非固定基多刚体系统，不能直接利用运动旋量理论建立其运动模型。本文通过构造移动机器人的虚拟连杆首先将其转换成一般的固定基单自由度关节的开链机器人，再应用运动旋量理论建立其运动模型，为移动机器人等多刚体系统建模提供了一种新途径。