摘    要：多重稳定性是许多分子生物模型重要的动力学行为，它在分析细胞分裂和生长现象中起到关键性的作用。为了了解细胞内的复杂的调节网络的动力学行为，将其数学模型进行单调分解为若干个单调控制系统的互联。对具有惟一定义的稳定状态响应的单调控制系统，引入了具有保持局部稳定性质的简化系统，根据简化系统的平衡点与原来单调控制系统的平衡点之间存在的一一对应的映射关系，可推知单调控制系统的平衡点的位置及其稳定性，进而通过确定单调控制系统的平衡点的位置及平衡点的稳定性，来确定整个互联单调控制系统的平衡点的位置及平衡点的稳定性。由于简化系统降低了原来生物系统模型的雏数，这为分析复杂生物系统的稳定性提供了一种可行的途径。

关键词：多重稳定性；单调控制系统；简化系统；平衡点

中图分类号：TP 27    文献标识码：A

    在基因后组时代，生物学家和数学家面临的****的挑战就是通过对复杂的细胞内的调节网络的研究来了解细胞的具体行为。在细胞内，是由蛋白质、DNA，RNA、代谢产物和其他物质组成的调节网络来处理外部的环境信号、控制内部事件（如基因表达）以及产生适当的细胞响应。尤其支持多重稳定性和周期性行为的调节网络近年来越来越受到人们的关注：多重稳定性是许多分子生物模型重要的动力学行为，在分析细胞分裂和生长现象中起到关键性的作用。多重稳定性及相关的滞后和振荡现象是分子系统生物研究的重点。

    在应用单调控制系统理沦时所面临的****的困难就是决定稳定状态的位置和数量。文献[3]把复杂的系统分解成由带有单输入单输出的单调系统通过单位反馈连接成具有惟一定义的I/O特性和满足单调性条件的闭环系统，然后根据简化定理把单调分解后的闭环系统简化为一维离散迭代方程。然而文献[3]，考虑的I/O特性及I/S特性都是单值函数，本文通过把文献[3]中的结论推广到I/S及L／O特性是多值函数的情况，介绍能保持原单调系统的局部稳定性质的简化系统及通过分柝简化系统的稳定性来推断原单调系统的稳定性。

  单调动力系统通常是定义在有序巴拿赫空间上的，这里所讨论的有序巴拿赫空间是一个实空间B，且具有一个奇异的非空闭子集。在这篇文章里，所讨论的K是定义在欧式空间上的，且是一个非空闭凸集。它具有以下几种性质：

    由上述正锥K的定义，引入序的概念。

    定义1（偏序关系）若x1≥x2，当且仅当x1-X2∈K则称≥为定义在K上的偏序关系。

    考虑具有输入输出的非线性控制系统：

 

    式中，x∈X，u ∈U，y∈y，且x是Rⁿ上的一个开子集的闭包且赋予了由K^X∈R所诱导的序；输出集Y和输入集U也分别是其自己内部的闭包且赋予了由锥K^Y∈R和K^U∈R^P所诱导的序。

    在不引起混淆和从文中司以知其意的情况下，可以统一用K来代替K^X，K^Y，K^U。同时，假设：

    f：X×U—y Rⁿ在XxU上是连续可微的且f在x上满足局部利普希茨条件和在U 上是一致连续的，函数h：X一Y在X上也是连续的。

    下面给出单调控制系统的定义。

    定义2（单调控制系统）  若系统(1)满足下面给出的条件：

   则称系统(1)是单调控制泵统。

    x(i，εi，ui)是微分方程x(t)=f(x(t)，u(t))且满足初始条件x(0)=ε的解。由单调控制系统的定义，还可进一步给出强单调控制系统的定义。

    定义3（强单凋控制系统）  若系统(1)满足下面给出的条件：

    则称系统(3)是单调控制系统。

    引理1[3]对系统(1)，V=intX，W= intU都是有序凸集，且f是连续可微的，对于由K^（ε）和K^（δ）所诱导的序，若：

    对所有的i∈ {l，2，…，n}和所有的j∈{l，2，…，m}都成立，则系统(1)是单调系统。其中，

   定义4（I/S特性）考虑系统(1)，若对每一个常量输入u(t)恒等于U，都存在一个全局渐近稳定的平衡点，则称k(．)：U-V为系统(1)的箭态I/O特性。

    注意到这里k^x是连续非递减的，即若：

 

    事实上，对任意给定的初始状态ε和输入u(t)，v(t)∈U，t≥0，根据单调性的定义，有：

    在分析基因调节网络模型的多重稳定性时，单调动力系统思想是很重要的一个分析手段。在对一个具体的基因调节网络模型来说，可以根据一些数学处理方法（如相容性原则）或算法（如LUP算法等），把原来的基因调节网络模型分解成由单调子系统级联而成的闭环系统。考虑非线性系统：

    且根据文献[1]中E．D Sontag所提出的单调分解方法，有：

    定义5（单调分解）  若系统(6)可以分解成下面形式：

    其中，状态变量X∈X∈Rⁿ；M为控制变量且在U∈R^m取值，而且分别存在由锥K^X∈Rⁿ，K^U∈R^m所诱导的序≤x，≤u，使得：

    ①每一个固定的u，系统(7)都是单凋的。

    ②对每一个固定的x，有u1≤u2，u1≤u2，f（x，u1）≤f（x，u2）成立。

    ③存在一维连续函数h：有x1≤x2，h(x1)≤h(x2)成立。

    ④g(x)=f(x，h(x))

    则称系统(7)是对系统(6)的一个单调分解。

    引理2对于给定的单调控制系统(6)，若其具有非退化的I/S特性，则x ∈X为系统(7)的一个平衡点当且仅当x∈K^x (h (x))，且映射x一(h(x)，x)是系统(7)的平衡点与对应的满足x∈k^x(u)，U=K(x)的点(u，x)之问的一个双射。

    对于引理2中给出的多值函数K^x，可进一步考虑多值函数k：u一P(u,)说若一个系统满足性质（H）： (H)任意的x1，x2∈E，若x1≠x2，则h(xl)≠h(x2)则称系统具有性质(H)。 其中，E为系统的平衡点集。

引理3若系统(7)具有性质（H），目具有非退化的I/O特性，则映射x一h（x）是系统(7)的平衡点与对应的满足u∈K(U)的点H之间的一个双射。

    证明由引理2可知，若x是系统(7)的一个平衡点，则满足x∈K^x (h (x))。根据多值函数k的定义有h(k)∈k(h(k))。反过来，若u∈k(u)则存在X∈K^x (u)，使得h(x)=u，因此x∈K^x (h (x))由引理2可知，x是系统的一个平衡点。

    如果假设：u一x是单值函数且满足上述定理的条件，即有以下的定理：

    定理1若系统(7)具有性质(H)，且矿是单值函数，满足：

    ①具有非退化的I/S特性和I/O特性。

    ②其闭环系统(6)是强单调系统。

    ③其解有界。

    局部渐近稳定平衡点与系统(7)的局部渐近平衡点之间的一个双射，且系统(7)的几乎所有有界解都收敛于其渐近稳定平衡点。

    证明若u是系统u= k(u) 的一个平衡点，则u是方程u=k(u)=h(K^x (u))的一个解：显然有：

    因此系统(7)的一个平衡点。反过来，若x是系统(7)的一个平衡点，则对应的输出力y=h(x)，又由于u=y可得x= K^x（y），因此：

    于是y是系统u=k(u)-u的一个平衡点。

    L／S特性K^x是可微函数，事实上，由K^x (u)是方程，f（K^x(u),u）=O的解和非退化的假设知，对任意的u，f(x,u)=0对x的偏微分都是可逆的，根据隐含映射定理知K^x是可微的。而且还可以通过对方程f（K^x （u），u）=O两边求导：

  进而可得：

  这里，A，B，C定义为

  且由I／S特性k^x是非退化的假设知，A^-1存在：

    考虑单位反馈u=y，得闭环系统z=(A+BC)z，由于A是Hurwtz矩阵，且det（I+CA^-1B）≠O。由文献[4]的定理2知矩阵-（I+CA^-1B）是Hurwtz矩阵，且存在Perron-Frobenius特征值u，若u

    在上述的定理中，系统u=k( u)-u 称之为连续时间简化系统，它保持了原系统(6)的局部稳定性质。在具体分析生物系统的多重稳定时，由于简化系统降低了原生物系统的维数，其维数等于其输入的维数：这在分析生物系统的稳定时提供了方便。下面就以一个实例来说明简化系统在分析生物系统稳定性时所表现出的简便性。

4实例

    为了说明文中的主要结果，考察一类真核单细胞有机体（如酵母菌）的基因调节网络：在文献[9]中，Iiskhaikow在研究中发现这些生物体能产生一种蛋白质，且这种蛋白质能穿过细胞膜去促进信使RNA的生成。不仅如此，在细胞内部发现另一种蛋白质也能影H向信使RNA的转录，记其浓度为λ。让r，p，q分别表示信使RNA、内部蛋白质、外部蛋白质的浓度，则基因调节网络可以用以下的闭环系统模型来描述：

(s)系统的关联图，如图l所示。

   

    在这里，函数H，T满足，偏导H与偏导P的比值大于0，偏导H与偏导a的比值大于0．且T(r)>0，H，T分别为转录速和翻译速率。a1，a2，a3为降解系数，常量k1，k2分别为蛋白质通过细胞膜进来和出去的速率。为了研究闭环系统(8)的稳定性，根据文献L4]所提出的单调分解方法，可以把原闭环系统(8)看成是由开环系统(9)通过单位反馈u=h(p，q，r)联接而成的。

    命题l系统(9)具有性质（H）。

    证明假设(p1，q1，r1)，(p2，q2，r2)是系统(9)的2个平衡点，若：

    则由系统(8)的第一个方程可得P1=p2，进而可得r1=r2。所以系统满足性质（H）。

    由引理1可知系统(9)为单调控制系统，且根据试验数据可以得出系统(9)具有惟一定义的单值函数k，即对每一个固定的输入u都存在惟一的平衡状态与之对应。令：

    由式(10)可得：

    显然，q(u)就是所讨论的I／O特性K。为了便于下面的讨论，给出函数H，T的一般形式：

    由上述的定理可知，系统(9)的局部渐近稳定平衡点与简化系统u=u(k)-u的局部渐近稳定平衡点是一一对应的.令q(u)=u，取m=4，n=1，ki=l／6，ke =l／l5，al=1，a2=l／10，a3=1／6，A1=l，A2=1，A4=10，BI=16，B2=10：其仿真图，如图2所示。

 

5结语

    多重稳定性是许多分子生物模型重要的动力学行为，它在分析细胞分裂和生长现象中起到关键性的作用。本文对具有惟一定义的稳定状态响应的单调控制系统，为了确定单调控制系统的平衡点的位置及平衡点的稳定性引入了保持局部稳定性质的简化系统。简化系统保持了原系统的局部稳定性质，由于简化系统降低了原生物系统的维数，其维数等于其输入“的维数。这在分析生物系统的稳定时提供了方便。