采样控制系统的提升H∞法设计
刘彦文，刘 胜，高振国
（哈尔滨工程大学自动化学院，黑龙江哈尔滨15000）
摘 要：考虑到常规的加权H∞；设计并不能满足提升变换所要求的应用条件，针对满足提升变换条件的采样控制系统的扰动抑制问题，进行了提升法H∞设计分析指出，只有加权系数的扰动抑制问题和输入端加权（函数）的扰动抑制问题能够满足提升H∞更换的应用条件，因此可以用提升法进行H∞设计。通过具体的实例，针对两种问题分别进行了提升法H∞设计。仿真结果表明，加权系数的扰动抑制问题，虽然提升变换后的范数值等于原采样系统的L2诱导范数，但所得设计结果并不能代表系统真正的性能指标，不是真正意义上的H∞综合；输入端加权函数的扰动抑制问题所得的结果是正确的，反映了svnthesis所想要的性能，而且能够反映系统在采样时刻间的真买性能：
关键词：采样控制系统；提升技术；H∞设计；扰动抑制问题
中图分类号：TP ?73 文猷标识码iA
1引言
提升技术因为能考虑到采样时刻之间信号的变化，给出准确的L2诱导范数，所以已经成为采样控制系统H∞设计的主要手段。但是提升法的应用是有条件的，当条件不满足时，提升法口。设计所得的结果实际上并不具有synthesis所想要的性能。
分析表明，只有加权系数的扰动抑制问题和输入端加权函数的扰动抑制问题满足提升法的应用条件，因此可以用提升法来进行H∞设计。本文通过具体实例，分别针对加权系教和输入端加权函数的扰动抑制问题进行了提升法H∞设计，并对设计结果进行了仿真分析和进一步的校验。其结果表明，提升设计能反映系统在采样时刻间的性能。
2采样系统中的提升计算
所谓“提升”，是指将一连续信号f(t)按采样时间T切成互相衔接的各段信号。
这个序列也是一种离散信号，只是在函数空间L2[o，T）取值。即：
现设一连续系统的状态方程为
这一系统的提升输入和状态变量之间的关系可分析如下：
定义Xk为离散时刻的状态XK=X（KT），则
当用算子来表示时就是：
本中的Rx 是指状态变量x的维数，以下均类同。
系统(1)的输出方程则为
关于这些算子的更进一步说明，可参阅文献[3]。在采样控制系统中，作为对象的这个系统尚有第2个输入，即控制输入u和第2个输出y。这第2个输入和输出是通过保持器日和采样器S与离散控制器kd相连接的。离散时刻的输入(uk)输出（yk）与状态变量X之间的关系兢是常规的保持器离散化所得的关系式。根据式(3)，式(4)再加上这第2个输入和输出后的广义对象的算子形式的传递函数为：
式中，对应第2个输入等于离散化系统的输入
提升计算的最后一步是将这等效的算子形式的传递函数G变换为一个有限维的矩阵形式的传函数阵Gd:
提升变换所得的Gd已是一个用矩阵来表示的离散对象了，接下来就是用常规的方法对离散系统进行综合( synthesis)了。具体计算的时候都已有标准的算法和程序。
3满足提升应用条件的日。设计
文献[1]中给出了应用提升法进行H∞设计的2个前提条件：
① (A，B1)可控，(c1，A)可观测。
② ( c2，A)可观测。
条件①中的A阵是系统广义对象的状态阵，B1阵是对应于第一个输入的输入阵，C1阵是对应于第一个输出的输出阵。条件①是保证提升变换范数等价的条件，该条件保证了厂义对象的第一个输入对状态的可控性，以及第一个输出对系统状态的可观测性。条件②中的C2阵是对应于第2个输出的输出阵。文献[1]中通过具体的例子分析了该条件不满足时提升设计中出现的一些问题。
由于不满足应用条件①和②，提升法不能用于灵敏度问题和鲁棒稳定性问题。对于扰动抑制问题，常规的输出加权函数设计不满足条件①和②。
因为不能用常规加权函数的办法来进行设计，这里可参照非线性H∞设计的做法，用权系数来进行设计，如图1所示。
设图1中对象的传递函数为
广义对象G取为
表示性能的输出现在是：
对象的输出y=x2。式(9)和式(10)中的βy和βu为相应的权系数。
对采样系统（图1）的扰动抑制问题来说，采用权系数的H∞设计目标是设计反馈控制器使系统的L2增益小于或等于γ即：
若y=1，则式(ll)表明设计后加权（系数）输出的能量有界，且小于扰动输入w(t)的能量。
因为这是采样系统，所以采用提升技术来进行设计。设计时先对广义对象进行提升，得到一个等价的H∞离散化对象，再设计H∞控制器。本例中在y=1的约束下选取不同的权系数组合（βy，βu），现以其中的2组数据的设计结果为例来进行说明，见表l。
对象采用式(8)的连续模型，控制器则分别采用与表1对应的提升设计所得的离散控制器，用Simulink对系统进行混合仿真，可得阶跃扰动作用下的输出响应y(t)和对象的输u(t)（仿真曲线略）。由输出响应y(t)可以看到，权系数βu相差不太大，所以y的偏差就小。本例中权系数βu相差不太大，所以u(f)的曲线比较靠近。
设计时选用不同的权系数进行比较以确定一个****的设计，例如本例中宜选表1中序号为1的设计，因为这时y(t)的偏差小而u(t)又不是太大。
现在来分析这个设计中提升变换的范数等价问题。本例故意选用窄带宽设计，所以即使是离散化设计，其结果与考虑连续信号的采样系统应该是相接近的。例如，从输出响应y(t)也可以看到，在过渡过程的2s时间内共有20个采样(r=O l s)，所以即使换成离散化对象，其输出y(k)构成的阶梯形波形与采样系统的y(t)应该是很接近的。因此这里用一（保持器）离散化对象P(z)来代替，与前面提升没计的得到的离散控制器ki(z)构成一个离散系统，然后用常规的方法计算该离散系统的日。范数用以验证提升计算所得的v值。
这2条幅频特性都有很长一段平坦段，并略呈下降趋势。事实上从H∞优化设计来说，设计结果足一条全通特性。当然因为仅用了H∞ 设计中的中心控制器，所以其奇异值特性（幅频特性）到高频段会有衰减，如图2中的σmax曲线所示。当用权系数来设计时，加权的性能输出是y和u线性（向量）相加，因此这全通特性分配到这2个分量也是平坦的。根据图形特点可知，这离散系统的H∞范数对应于频率特性在m =0时的值。由图2可得
这个窄带宽离散系统的H∞范数应该是与采样系统的L2诱导范数相接近。事实上提升计算所得的y值就是0 997 7（精确到小数4位）（见表1）。
这个例子表明，当采用权系数时提升变换后的范数值γ等于原采样系统的反映系统性能的L2.诱导范数。但利用权系数的设计足选取不同的权系数来进行衡量，在这种设计中y值只是一个中间参考值，并不能代表扰动抑制问题中的真正的性能指标，所以即使是采用H∞方法，也不是真正意义上的综合。
4输入端加权的扰动抑制问题
实际上，使用权函数来进行设计才是H∞设计的精髓，用以达到频域成形的设计目的。对于扰动问题，如果按常规的加权设计思想，对输出进行加权，是不满足提升变换的应用条件的。所以这里提出将权函数放在输入端。对输入端加权的扰动抑制问题，完全满足条件①和②，所以可以用提升法进行设计：
扰动抑制是指控制系统在对象输入扰动w作用下的性能，对应的传递函数为
当用优化方法来设计时，是先对式(13)的传递函数进行加权，再求解下列的优化问题：
采样系统，如图3所示。
式(14)的γ则是指系统的L2诱导范数。不过加权（函数）设计的概念（与连续系统）都是一样的。
权函数W1具有低通特性，例如在本例中取：
注意到W1的低频段幅值为1，即：
所以根据式(14)求解所得的范数最小值v就是低频段P（I+ KP）-1的幅值，也就是扰动抑制问题中的性能。H∞设计所起的作用是使y做到可能的最小值，即****性能。
用实线表示提升加权闭环系统的奇异值Bode图其中，Pd为图3
权函数形，如式(15)所示，则图3所示系统的广义对象为
5设计及仿真应用
图3中对象P取为
利用Matiab函数clhfsvn求解得H∞控制器为
对应的闭环系统的范数值为
由此可得扰动抑制的稳态值为
如果将连续广义对象G用保持器离散化得Gd2(z)，再将该Gd2 (Z)与式(18)中的控制器结合，所得闭环系统的H∞范数为γ=0. 001 3，与提升系统的H∞范数完全相等。
由此可以得出．当2个假设条件①，②同时满足时，提升算法确实给出了采样系统的真正的L，涛导范数。
由式(20)可以得出，此采样控制系统真正的扰动抑制性能γ也等于式(19)的提升设计的范数值，从而进一步说明此时的H∞设计所得的系统得出的结果是正确的，并且反映了svnthesis所想要的性能。
取采样周期T=0.1 s，对G(s)进行提升计算，得提升变换后的Gd为[式(7)]中连续对象的保持器离散化。闭环系统奇异值Bode图，如图4所示。
由图4可知，H∞设计结果符合常规的设计的概念，且是可以校验的。
阶跃扰动式下的响应，如图5所示。
实线为采样系统在单位阶跃扰动下的输出响应z(t)，阶梯形曲线（虚线）为常规离散设计结果。
可以看出，常规离散设计只能保证各离散时刻的值与实际值相一致，采样时刻之间实际的响应z（t）曲线则与离散设计的结果有较大的出入，因此要反映采样系统的真正性能，还需要用提升技术来解决。
6结语
提升变换不适用于常规加权函数的日。设计，只有加权系数的扰动问题和输入端加权函数的扰动抑制问题满足提升法的应用条件。但加权系数的扰动抑制问题得到的设计结果只是一个中间参考值，并不能代表扰动抑制问题中的真正的性能指标，也不是真正意义上的H∞综合。
对输入端加权函数的扰动抑制问题的设计结果表明，设计结果符合常规的H∞设计的概念，且是可以校验的。进一步的应用仿真表明，提升设计确实优于传统的离散设计，能够反映采样系统在采样时刻之间的真实性能。由于很多工程实际问题，都是由计算机来实现对系统的控制，相应的系统都应该按采样系统来进行设计，本文得出的结论为采样系统的提升技术在实际工程中的应用提供一定的方法依据，起到了很好的指导作用。
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