摘    要：研究了一类畀结构混沌全状态同步控制问题。分别以CoulleL系统与Rossler系统为目标和响应系统，采用backstepping方法设计了保持两系统之间所有状态同步的连续时间控制器，为了把连续控制器更好地应用到计算机采样控制系统中，在连续控制器设计的基础之上，基于采样系统实用半局渐近稳定理论，又进行了采样同步控制器的再设计研究。仿真结果证明了所设计的连续及采样同步控制器的有效性，并进一步表明所设计的采样同步控制器，与由连续控制器直接离散化所得的控制器相比，具有更快的收敛速度，而且在保证系统稳定的前提下还具有更宽的采样周期选择范围？

关键词：异结构；混沌；同步；采样控制；反步法

中图分类号：TP 273    文献标识码：A

    已成为非线性科学研究热点的混沌控制与同步，在保密通信、医学、生物等领域具有很大的应用潜力和发展前景，现已提出的混沌向步方法中多数集中于同结构混沌同步。异结构混沌同步也正越来越多地受到人们的关注，有的异结构同步只实现两混沌系统间的某个对应状态的同步，本文以Coullet系统为目标系统，以Rossler系统作为响应系统，给出了一种保持两系统间3个状态分别同步的连续时间控制器Backstepping设计方法，并且通过仿真试验证明了控制器的有效性。

    如果把按照连续控制理论所设计的控制器直接应用到计算机采样系统之中，采样系统往往随着采样周期的增加而趋于不稳定。所以在非线性控制领域内针对采样后系统能否稳定，以及性能如何，就成了一个必要的研究课题。

  本文在所设计的连续同步控制器的基础上，基于采样系统半局实用渐近稳定理论法，对连续同步控制器进行了再设计，仿真结果表明所设计的采样同步控制器与由连续同步控制器直接离散化所得的控制器相比，具有更快的收敛速度和更宽的采样周期选择范围，这样就为控制器算法的实现争取到更多的运算时间。

    以Rossler系统作为响应系统，把同步控制器加在其第3个方程中，此时系统的动力学方程描述为

    以Coullet系统为且标系统，其方程如下：

  当参数a1=0 2，b1=0 2，c1= 5.7，a2=-0. 45，b2=1.1，c2=0.8时，两系统都处于混沌状态：定义误差变量：

  

对式(4)求一阶导数后带入式(1)，可得

    为了便于采用backstepp/ng方法进行设计（需要严格下三角结构），首先交换上式中e1和e2的下标，再互换第一个方程与第二个方程的位置，令：

    则误差系统状态方程式(5)可改写为

 

    此时只要选取合适的控制输入u使系统(7)的误差变量e1（i=1，2，3）全部收敛到零，就能实现系统(1)与系统(2)的同步。以下将尝试使用back stepping方法逐少求取同步控制器u。

    考虑(e1)子系统，把e2当成子系统e1的虚拟控制器，令w1=e1选取第一个Lyapunov函数：则v1(e1)沿着(e1)子系统的时间导数V1(e1)=eiei =el(e2 +aie, +A)，令w2=e2- al，并且α=-k1el -alel -A，则v1(e1)= -k1w1² +w2e1。其中，k1为选定的正常数，下文也是这样。

    接下来考虑(e1，e2)子系统，把e3当作其虚拟控制器，选取第2个Lyapunov函数：

         

    则V2(e1，e2)沿(e1，e2)子系统的时间导数：

    最后考虑系统（e1，e2，e3），选取：

  

则V3（e1，e2，e3）的时间导数：

如果选取：

   为了使e2和e3随时间t也能收敛于0。实现Coullet系统与Rissler系统3个状态的完全同步，可在控制期设计前先对响应系统尽享补偿控制，使补偿后的误差系统不含A，B项，选取：

     

则补偿后的响应系统为

 

依然沿用式（3）定义的误差变量，对这些变量求一阶导数后带入式（11）中，可得：

 

依照前面的方法交换式（12）中的e1和e2的下表并互换第一个方程与第二个方程的位置，然后按照backsteping方法对系统（12）重新进行控制器设计，于是得到

最后再交换会e1和e2的下表，得：

 

    考虑如下系统：

             

假设f (O)=0且f和g连续可微。采样控制系统中控制信号U(t)=u(KT)=u(k)，为分段连续信号，状态变量η(k)=η(kT)和ξ(k)=ξ(KT)分别可以在采样时刻kT被测量，其中，T>O为采样周期，非线性系统(14)所对应的精确离散模型和Euler近似离散模型分别表示为

    大多情况下，系统( 17)对应的精确离散模型是不可得的，即使可得往往也不能保持如式(17)的严格反馈结构，而Euler近似离散模型不但易求，且能够保持模型的严格反馈结构，这是在以下的设计中选用非线性系统Euler近似离散模型的原因。

    对离散系统模型：

  

    有以下2个定义：

    定义1 称系统(21)是半局实用渐近稳定( SPAS)的，如果存在函数βEKl，对于任意正实数对(Δ,δ),都有 T>0使对所有和初始状态系统(18)的解都满足.

    由定义l可以直接得出，如果系统式(21)是全局渐进稳定的，那么其必定是半局实用渐近稳定。

    定义2 称连续可微函数V：Rⁿ-,R是系统(21)的半球实用渐近稳定Lyapunov函数，如果存在K；使得对任意正实数对，存在L，T >都满足下面的式子：

    定理l如果(Vt，ut) ，那么ur也可以使F_TSPAS。

  下面将进行采样同步控制器设计，首先交换误差系统(12)中变量ei和e：的下标，然后求出其Euler近似离散模型：

令

   

则式（23）可以改写为：

   

根据文献{8}中订立2可以求出能够使系统式（16）半球实用渐近稳定的一个SPAS对（V（K），v（K）），其中：

所以（V（K），v（K））是我差系统的Euler近似离散形式（14）的一个SPAS对，由定理q可知，所求的V（K）同样可以使得系统式精确离散模型保持半球实用渐近稳定。

再把所得控制器v(K)代到（24）中，然后再次交换e1和e2的下表，可得最终的采样西戎同步控制器表达式为：

通过比较U3（K），可知：

通过计算可以得出：

    由此可以看出，所设计的采样控制器u(k)比直接把连续控制器离散化所得到的控制器具有更快的收敛速度。

    目标Coullet系统在相图中的混沌吸引子，如图1所示。

   

    当加入连续时间同步控制器(u1，u2，u3)后，则响应系统同步误差e(t)=(e₁²(t)+ e₂² (t)+ e₃² (t))随时间t快速收敛到0，如图2所示。

   

    这表明在控制器(u1，u2，u3)作用下两系统间所有状态均保持了同步。设定采样周期为O l s，两种采样控制器同步误差比较，如图3所示。

  采样系统往往随着采样周期的增加而趋于不稳定，当T=0. 35 s时，控制器已经不能使系统稳定，此时的系统误差e(t)如图4所示。

    

    而在控制器作用下，响应系统仍能在一定误差范围与目标系统保持同步，误差e(t)随时间变化曲线，如图5所示。

      

    本文以Coullet系统为目标系统，以Rossler系统为响应系统，分别设计了连续控制器和采样控制器来实现两系统之间的全状态同步，并进一步比较了所设计的采样控制器与由连续控制器直接离散化所得的控制器之间的性能，仿真结果证明了所设计控制器的优越性。