1．不了解数学模型的内涵，就根本建立不了控制对象的精确数学模型，尤其禁忌想当然乱凑数学模型

      什么是数学模型?简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。具体一点说：
　　数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式、算法、表格、图示等。数学建模就是建立数学模型，数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象思维、简化操作来建立能近似刻划并解决实际问题的一种强有力的数学手段。
　　数学模型作为解决实际问题的一种基本工具，它将实际问题抽象成一个数学模型后，再运用数学工具进行求解，并将结果应用于具有相同特征的一类问题中，是解决实际问题的一种基本的途径。实际问题往往是纷繁而复杂的，而其中的规律也是隐藏着的，要想直接用计算机来求解实际问题往往有一定的困难，甚至无法实现。计算机擅长的是解决数学问题。因此，我们有必要将实际问题抽象成数学模型，然后再用计算机来对数学模型进行求解。
　　与实际问题相比，数学模型有以下几个性质：①抽象性：数学模型是实际问题的一种抽象，它去除了实际问题中与问题的求解无关的部分，简明地体现了问题的本质；②高效性：
　　数学模型中各个量之间的关系更为清晰，容易从中找到规律，从而提高求解的效率；由于这一点是由数学模型的抽象性决定的，因此数学模型的抽象化程度对数学模型效率的高低有重要的影响；③可推广性：数学模型可以推广到具有相同性质的一类问题中。换句话说，解决了一个数学模型就解决了一类实际问题。这里的“相同性质’’是指相同的本质，表面看似毫不相干的问题却可能有着相同的本质。由于这一点也是由数学模型的抽象性决定的，因此数学模型的抽象化程度对数学模型的推广范围也有重要的影响。因而，数学模型的建立不仅仅是模拟已知结果，最重要是对未知的预测。
　　由于考虑问题的角度不同，面对同一个实际问题，可能建立起各种各样的数学模型。在各种数学模型中，要寻找的是效率****的模型。模型的效率同模型的抽象化程度有关。　　数学模型是建立在问题本质的基础上的，而不是建立在问题的表面现象上的。因此，虽然两个问题表面毫无关系，只要它们有着相同的本质，就可以用相同的数学模型求解。然而，要看到两个问题有相同的本质并不是一件容易的事。这需要我们抛开问题的表面现象仔细地分析对比，由表及里、去伪存真，在问题之间建立对应关系。
　　数学模型的高效性与其抽象性是紧密联系的。数学模型越是抽象，它的效率也就越高数学模型的可推广性与其抽象性也是紧密联系的。数学模型越是抽象，它也就越容易被广泛应用。建立数学模型一般应该：首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，弄清对象的特征。然后根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是～种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模师能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。再根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其他数学结构。这时，便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许许多多，真是泱泱大国，别有洞天。不过应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能方便加以府用，因此工具愈简单愈有价值。这里，可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。最后还要对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论哪种情况都需进行误差分析、数据稳定性分析。
　　2·不建立控制系统精确的数学模型，就根本设计不了高精度的控制系统，尤其禁忌不建立数学模型就进行盲目粗糙设计

      控制系统的数学模型即是描述控制系统的数学表达式。对于现实世界的某一特定对象。
　　为7某个特定的目的，通过一些必要的假设和简化后，将系统在信号传递过程中的特性用数学表达式描述出来，就可获得该系统的数学模型。控制工程的设计方法，就是要建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合。因而，数学模型是控制工程设计的基础和必要条件。工程上常用的数学模型有：微分方程、传递两数和状态方程。微分方程是基本的数学模型，是传递函数的基础。数学模型不是****的，同一个系统可有不同的数学模型，建立的数学模型是否适用只能通过实验来进行验证。
　　建立数学模型就是应用不同学科中的一些定律及基本原理。如：牛顿定律、质量守恒定律、基尔霍夫定律和马克斯韦尔方程等等。在建立数学模型的过程中常会遇到模型的简化和模型的精度之间的矛盾。解决这个问题，必须对系统作全面的分析了解，需要有丰富实用的建模经验，才能分出系统中各部分结构及参数的作用及影响的主次，建立一个既简化又有一定准确度的适用模型。
　　线性系统，可由线性微分方程描述的系统。线性微分方程是指微分方程是定常和线性的。线性系统可应用叠加原理，将多输入及多输出的系统转化为单输入和单输出的系统进行处理分析，最后进行叠加。另外线性系统还有一个重要的性质，就是均匀性，即当输入量的数值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出量的变化规律只与系统的结构、　　参数及输入量的变化规律有关，与输入量数值的大小是无关的。线性化数学模型是工程上最常用的数学模型。
　　非线性系统是研究非线性系统的运动规律和分析方法的一个分支学科。非线性系统最重要的问题之一就是确定模型的结构，如果对系统的运动有足够的知识，则可以按照系统运动规律给出它的数据模型。一般来说，这样的模型是由非线性微分方程和非线性差分方程给出的，对这类模型的辨别可以采用线性化，展开成特殊函数等方法。非线性系统理论的研究对象是非线性现象，它反映出非线性系统运动本质的一类现象，不能采用线性系统的理论来解释，主要原因是非线性现象有频率对振幅的依赖性、多值响应和跳跃谐振、分谐波振荡、自激振荡、频率插足、异步抑制、分岔和混沌等。非线性数学模型通常都比较复杂，难以求解，甚至是根本就无法求解。
　　非线性系统线性化是对于某些非本质的非线性系统最常用的处理方法。在一定条件下进行线性化处理，可以简化分析。一般线性化方法是在工作点附近甩切线来代替，即将非线性函数在工作点附近展开成台劳级数，并略去高于一次的项，就可得到近似的线性差分方程。
　　因为控制系统的数学模型关系到对控制系统性能的分析结果，所以建立合理的数学模垄是控制系统分析中最重要的事情。它主要包括对系统和元件数学模型的建立、传递函数的概念、结构图和信号流图的建立及简化等内容。
　　数学模型有动态模型与静态模型之分。描述系统动态过程的方程式，如微分方程、偏微分方程、差分方程等，称为动态模型；在静态条件下(即变量的各阶导数为零)，描述系统各变量之间关系的方程式，称为静态模型。同一个物理系统，可以用不同的数学模型来表达。例如，实际的物理系统一般含有非线性特性，所以系统的数学模型就应该是非线性的。
　　而且严格地讲，实际系统的参数不可能是集中的，所以系统的数学模型又应该用偏微分方程描述。但是求解非线性方程或偏微分方程相当困难，有时甚至不可能。因此，为了便于问题的求解，常常在误差允许的范围内，忽略次要因素，用简化的数学模型来表示实际的物理系统。这样同一个系统，就有完整的、复杂的数学模型和简单的、准确性较差的数学模型之分。一般情况下，在建立数学模型时，必须在模型的简化性与分析结果的精确性之间做出适当的折衷考虑。此外，数学模型的形式也有多种。为了便于分析研究，可能某种形式的数学模型比另一种更合适。例如时域的微分方程比较直观，但灵活性不高，为此，用拉氏变换法求解微分方程，引进复数域的数学模型——传递函数；它是经典控制论中最基本和最重要的概念，也是控制理论学习的基础。再如在求解****控制问题或多变量系统的问题时，采取状态变量表达式(即状态空间表达式)比较方便；但是在对单输入、单输出系统的分析中，采用输入输出间的传递函数(或脉冲传递函数)作为系统的数学模型比较合适。所以在建立系统数学模型时，必须注意：
　　1)全面了解系统的特性，确定研究目的以及准确性要求，决定能否忽略一些次要因素而使系统数学模型简化，既不致造成数学处理上的困难，又不致影响分析的准确性。一般在条件允许下，最初尽可能采用简化的常系数线性数学模型。若有必要，再在线性模型分析的基础上考虑被忽略因素所引起的误差，然后再建立系统比较完善准确的数学模型。但是必须指出，由于数学分析方法上存在的误差，数学模型不必要的复杂化，有时并不一定会带来预期的准确结果。
　　2)根据所应用的系统分析方法，建立相应形式的数学模型(微分方程、传递函数等)．

　　有时还要考虑便于计算机求解。
　　建立系统的数学模型主要有两条途径：①是利用人们已有的关于系统的知识，采用演绎的方法建立数学模型；演绎法是一种推理方法，用这种方法建立模型时，是通过系统本身机理(物理、化学规律)的分析确定模型的结构和参数，从理论上推导出系统的数学模型，这种利用演绎法得出的数学模型称为机理模型或解析模型；②是根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。这种方法称为归纳法，利用归纳法所建立的数学模型称为经验模型。一般地讲，采用演绎法建立的数学模型，是系统模型化问题的****解。而采用归纳法时，能够满足观测到的输入、输出数据关系的系统模型却有无穷多个。
　　只有建立了能反映实际控制系统精确的数学模型后，才有可能设计出高精度的控制系统，否则将是劳而无功，并会造成人力、财力和物资上的极大浪费。