一维时间序列重构无刷直流电动机混沌吸引子特征

    闰世杰¹，曹继伟²，王长义¹

(1渤海船舶职业学院，辽宁葫芦岛125000；2.沈阳工业大学，辽宁沈阳110023)

    摘要：基于相空间重构原理，针对无刷直流电动机的混沌模型，运用一维时间序列在高维情形下对低维混沌吸引子进行重构，重构后的方程具有和原动力方程相同的动力学特性，并通过基于混沌优化算法的改进方法对重构前后方程的]yapunov指数进行比较，并通过与小波变换后的相图比较证明了重构方法的实用性。结果表明：采用的重构方法是有效的，与前人的方法比较具有简单、快速的特点，为进一步研究混沌预测和混沌控制提供了基础条件。

    关键词：相空间重构；时间序列；吸引子；无刷直流电动机；混沌

    中图分类号：TM33  文献标识码：A  文章编号：1004—7018(2008)05—0018—03

0引言

    无刷直流电动机是一个多变量、强耦合、非线性的系统，在实际运行过程中经常出现一些不规则的现象，如转矩的剧烈震荡、噪声和不稳定运行等^[1]，这些现象都会严重影响无刷直流电动机的性能，所以有必要研究这些现象发生的特征并判断这些现象的出现，以便对电机混沌运行进行控制。由于混沌系统的复杂性，在现实中混沌模型又多是未知的，所以由实际观测的混沌时间序列来研究原混沌系统的动力学特征具有特别的意义；但是由于实际所能直接观测的混沌数据又是极为有限的，如电机系统中只能观测电机的外部行为，如转速、转矩，而无法实时测得电机内部行为，如电流、电压等数据，因此由一维时间序列重构混沌吸引子就具有更为深广的意义。

    通常，一维时间序列的混沌吸引子重构都是在低维条件下进行，通过确定****嵌入维数和延时时间间隔来重构吸引子。但是复杂的动力系统的混沌吸引子重构对其要求是极为苛刻的，而且****嵌入维数和延迟时间间隔的确定又富有技巧性并且需要一定的计算时间。因此，若可以在高维环境下对吸引子进行重构，就可以省去这些步骤，有助于混沌控制方案的实施。

1重构原理及重构模型

    对于混沌动力学的研究表明：长期演化的混沌动力系统中任一一维时间序列中都蕴含着整个系统演化的信息，因此可以从任一一维时间序列中提取长期演化的混沌系统的信息，进而对系统进行重构。Takens从理论上证明了可以从系统的一个变量的时间序列就可以重构一个同胚于原来系统的混沌吸引子。

    定理：设时为m维紧致流形，F为M上的C₂相量场，Φ_t是F产生的流，V是M上的光滑函数，由定义Φ_F,V(x)：M-R^2m+1是个嵌入。

    当嵌人定理应用于观测到的一维时间序列中时，它隐含意味着存在一个拥有2m+1个变量光滑函数可以反映出原方程的动力学特征。以往的研究中^[2]，多采用计算****嵌入维数以便在较低维中重建混沌吸引子，但是当计算出的****嵌入维大于3时，低维中重构吸引子和高维中重构都一样无法展示出混沌吸引子的样子，因此本文中直接以在高维中进行吸引子重构，并观察重构后方程任意三维的图形和单一变量流图进行判断吸引子特征是否保留。

    高维相空间重构的思想就是：估计重构的动力系统的维数，将已观测到的时间序列分成2m+1段子时间序列，将2m+l段子时间序列作为2m+1维的每维数据，通过最小二乘法拟合出光滑函数的方程系数，从而完成重构。所用的重构模型为：

2无刷直流电动机吸引子重构及对比分析

2 1吸引子重构

    在一定的假定条件下，经过坐标变换、线形仿射变换和时间尺度变换后^[3-5]，可得到深海机器人元刷推进电动机系统的数学模型的状态方程：

式中：μ，γ，σ和υ为动力系统结构参数。u_d,u_q,T_l为经过变换后的直轴电压、交轴电压和负载转矩。i_d、i_q、ω为变换后的直轴电流、交轴电流和电机转速。

    设所研究的推进电机参数取值为μ=1.00、σ=5.58、y=19.55、v=0取电动机空载运行一段时间后突然断电的情况，则推进电机系统运行的初始条件为：

=O。本文采用四阶龙格一库塔法利用Matlah编制仿真程序，对推进电机状态方程进行求解，系统进行分 析计算得到三个时间序列，得到的混沌吸引子如图1所示。

     采用转速的时间序列作为基础数据，运用上述重构方法进行重构后得到的重构方程。重构后的系统方程为高维方程，利用庞加莱截面法的思想，在低维空间上观察重构后的方程曲线，对于其在低维空间之上的曲线观察，当曲线为封闭时，则高维空间中的曲线也为封闭的(即周期性质的)；当曲线为随机变化，并最终形成不规则体时，则认为不为周期或是准周期运动。图2为重构后议程的单变量流图，文中时间变量t为龙格-库塔法中步长变量的累加。图3为任意三个变量之间关系。

    图2为单个变量的时域图，其具体分析在下文中进行小波分析。

图3重构后任意三变量间吸引子形状(相对值，无单位)

    图3为任意的三个变量之间的吸引子的形状，表 明在任意的三维空间中，重构后的方程均为不封闭的曲线，带有一定的混沌特征。

    图2、图3表明：重构后的方程基本保持了原方程的吸引子形状，每个变量都具有一定的混沌特征。

2．2重构前后的1y印onov指数的比较

    常用的lyapon。v指数的计算方法有wolf法和小数据法等。本文采用基于10gisfic方程的改进wolf计算方法^[6]。其基本思想为：初始选择与基准点相差距离L1=1的点作为邻近点，迭代后两点相距L2，然后寻找与迭代后的基准点的新的邻近点，其标准为：与基准点的距离L1在0．5—1．2之间，前后两点的角度不超过0．1，这一过程采用10gⅫc方程进行快速寻点；重复进行此过程，得到一系列的L1、L2，通过式(3)计算得到ly印onov指数。

式中：total为总的计算次数，h为步长。

    这样通过]Viatlab编程得到的前后baponov指数如表2所示。

    重构前后两者均大于0，且两者相差不大，认为重构取得了成功，重构的方法是有效的，重构后的方程可以反映原方程的动力学特性。

2．3重构后的相图与小波分析后的相图比较分析

    小波分析是一种信号的时间一尺度(时间-频率)分析方法[7]，它具有多分辨率分析的特点，而且在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力，是一种时间窗和频率窗均可以改变的时频局部化分析方法。其在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，特别适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为信号分析的数学显微镜。小波分析是数学领域中调和分析问题半个世纪以来研究的结晶，已经应用于信号处理、图像处理、流体湍流、天体识别、分形以及机械故障诊断等众多科技领域。

    借鉴小波分析中窗口的概念和方法，可以设计合适的时间窗口，对原方程的混沌吸引子进行细化、剖析，如图4所示。

   对原方程的混沌吸引子选择合适的时间窗口后，取出任意两个变量，组成小波分解后流图，可以得到具有混沌特征的混沌吸引盆，如图5所示。

    这种混沌吸引盆代表着混沌序列中不同频域的跨度，这个混沌吸引盆也可以作为原方程混沌吸引子的一个特征表示。系统进行重构之后，对重构后系统方程的每一个变量进行同样的小波变换，得出系统任意两个变量随时间变换的流图，如图6所示。

    从图中可以看出重构后的系统变量之间依然保持着原方程混沌的特征。对重构后的系统进行小波分解之后得到的由小波系数和尺度系数决定的向量之间的关系，如图7所示。

      仔细观察小波变换后的三相相图，发现小波变换后的由小波系数重构的高频量与我们本文中所采用方法重构后的相图有很多相似之处，只是本文中所采用的方式使相图更加圆滑了一些，那么我们可以这样理解，经过重构后的方程的每一相都是原方程的某一个频域下

的特征变换，这样我们重构后的方程就具有原混沌方程的混沌特性，利用这种特性，我们可以运用其他的方法对重构后的方程进行处理，使它最终能准确地预测原方程的轨道走向。

3结语

    本文通过Matlab程序实现了基于一维时间序列在高维情况之下重建无刷直流电动机动力方程，进行相空间重构后，混沌吸引子的形状基本保持原混沌吸引子的“蝴蝶效应”形状不变，且对重构后的变量进行小波分解后，其由尺度系数重构后的量和小波系数重构后的量都能够保持原有的混沌特征；从总体上看，重构前后的1yapunov指数又相差不大，且都大于0，都可以说明本文中的重构方法是有效的、实用的，可以进一步应用于实际系统中的工作状态的判定等工程问题中，为进一步进行深海用无刷直流电动机控制提供了有利条件。