自适应模糊滑模控制在伺服电动机系统中的应用

高文达，方一呜，张文亮，范志远

    (燕山大学，河北秦皇岛066，004)

    摘要：设计了一种带积分滑模面的自适应模糊滑模控制系统，并将其应用于伺服电动机的位置和速度控制系统中。自适应模糊滑模控制系统是由模糊控制和hitting控制组成的，在模糊控制设计中，用模糊控制器来模拟反馈线性化控制律；在hitting控制设计中，用hitting控制器来补偿反馈线性化控制律和模糊控制器之间的误差。调节算法是从hapunov稳定性理论得到的，从而可以保证系统的稳定性：而且为缓解对近似误差界的需要，提出了一种误差估计机制来实时观测近似误差界。仿真结果证明了所设计的系统可以得到令人满意的跟踪性能，而且对参数变化和外部负载扰动具有鲁棒性。

    关键词：自适应控制；模糊控制；滑模控制；伺服电动机

    中图分类号：TM383．4  文献标识码：A  文章编号：1004—7018(2009111—0032—05

0 引言

   使用语言信息的模糊控制拥有鲁棒性强、建模比较自由、满足全局近似理论和规则算法等特点^[1-3]。但是在高阶系统中，大量的模糊规则使分析非常复杂。20世纪末，研究人员提出了模糊滑模控制器的概念^[4-6]。因为只定义了一个模糊输入变量作为滑模面变量，模糊滑模控制系统的主要优点就是模糊规则的数量比反馈线性化控制系统要少得多，后者通常用误差和误差的变化率作为模糊输入变量。choi等人用称为符号函数的单输入模糊变量来设计模糊滑模控制器，但隶属度函数必须是等高的等腰三角形的形式^[4]。Palm设计了一个滑模模糊控制器，用误差和误差变化率保证了滑模控制律中的开关数量的****值，但在控制过程中需要过多的模糊规则^[5]。Yu等人建立了一组线性模型来设计控制器，但他们的设计方法在高阶系统中较难进行分析^[6]。其他一些学者提出了自适应模糊控制的概念^[7-8]。基于全局近似理论，自适应模糊控制设计方法可以通过足够复杂的近似函数为带有明显的不确定非线^生化的非线性系统建立Lvapunov稳定的控制器^[9]。通过这些方法，模糊规则可以自动进行调整，通过动态自适应律来产生令人满意的系统响应。这些控制方案都是用误差和误差变化率作为模糊输入变量，所以在实际中需要较多的模糊规则。而且在设计过程中需要进行严格的限制和对被控对象的经验知识。

    本文的目标是要设计一个自适应模糊滑模控制方案来克服以前工作中的缺陷。这个系统可以与白适应模糊控制一样自动调整模糊规则，并且可以如模糊滑模控制一样显著地减少模糊规则的数量。本系统力图解决下列问题：(1)能够把人类的语言信息直接应用于控制器；(2)保证最后得到的闭环系统是Lyapunov稳定的。为了缓解对近似误差界的需要，用一种简单的估计算法来实时观测近似误差界。由于其存在在线调节，因此明显地削弱了抖振现象。最后的仿真结果证明了所设计系统的有效性。

1伺服电动机的数学模型

    由于现在市面上常见的大功率交流伺服电动机都是以永磁同步电动机为执行电机，因此本文的控制对象模型电是在永磁同步电动机的基础上建立的。永磁同步电动机通过在转子上安装永磁体，在定子绕组中通入交流电，从而产生旋转磁场而进行转动的，因为它的转子旋转速度和定子绕组所产生的旋转磁场的速度是相同的，故而得名。为了便于分析问题，我们先做如下假设：

   (1)忽略磁路饱和及铁损,各绕组的自感和互感都是线性的;

(2)三相绕组对称磁势沿气隙圆周按正弦分布;

    (3)不考虑温度和频率变化对电机电阻的影响。

   基于以上假设，我们可以得到永磁同步电动机在两相静止坐标系d-q下的数学模型：

式中：u_d、u_q为定子电压d、q轴分量；i_d、i_q为定子电流d、q轴分量；L_d、L_q为定子电感d、q轴分量；Ψ_f为转子永磁体产生的磁链；R为定子电阻；P为极对数；J为转子转动惯量；B为粘性摩擦系数；ω_r为转子角速度；T_e为电磁转矩；T₁为负载转矩。

    从式(1)可以看出，永磁同步电动机的模型是非线性模型，且d轴电流分量k_d和q轴电流分量i_q之间存在一定的耦合关系。为了使永磁同步电动机具有和直流电动机一样的控制性能，通常采用矢量控制技术中的i_d=O的方法来实现线性化解耦控制。这样可以将永磁同步电动机的数学模型转化为直流电动机模型，从而可以仿照直流电动机的方法来控制。

    由式(1)可以得到电机的机械运动方程：

式中：B为粘性摩擦系数；ω_m为机械角速度，它与ω_r之间的关系为：ω_r=Pω_m；T_e为电磁转矩，它可以表示为：

因为i_d=0,所以它可以简化为：

式中：K_t为转矩常数，K_t=3/2PΨ_d；i为被控电流，i=i_q。将式(4)代入式(2)，则伺服电动机系统的方程可以写成下式：

  

式中：

制律。

 2模糊滑模控制

    伺服电动机模糊滑模控制系统的结构框图如图1所示，其中θc(t)为参考转子位置。控制问题即为

找到适当的控制律，使得转子位置可以跟踪特定的参考轨迹。定义跟踪误差为：

滑模控制设计的第一步是要选择一个滑模面，使系统在滑模面上达到期望的闭环特性。然后再设计控制律，使得系统的状态轨迹趋近于滑模面，并最终保持在滑模面上。选取积分滑模面方程为：

其中，k₁和k₂为非零正常数。从式(7)中可以看出，如果式(5)所示的系统状态轨迹达到了滑模面，也就意味着系统满足滑模存在和到达的条件，即：

则系统的等效控制方程为:

    很明显，如果适当选取增益k₁和k₂，跟踪误差e(t)将会指数性地趋近于零。

    传统的带有n个输入的模糊系统，它的完整的模糊规则一共有p_n条，其中p为每个输入变量所对应的模糊子集的数量。随着系统维数和复杂性的增加，模糊规则的数量也呈指数性地增加。通过定义滑模面作为模糊规则的输入变量，模糊滑模控制系统的模糊规则的数量相比于传统的模糊控制系统要少的多，因为后者需要把误差和误差的变化率作为输入变量。本文采用如下形式的模糊规则[4]：

其中：α_i为独立的控制行为，i=1，2，…，m。Fs为模糊集。使用三角型和单值型隶属度函数来定义模糊规则中IF部分和THEN部分的隶属度函数，分别如图2a、图2b所示。控制输出的解模糊是用重心法

来完成的^[9]，如下：

式中：ω_i为第i条规则的权值。

3自适应模糊滑模控制

       假设系统的动态特性已知，并且外部负载扰动是可测的，那么从式(3)和式(5)可以得到满足s(t)=0的反馈线性化控制律：

将式(11)代入式(5)，得到：

如果控制增益k₁和k₂选择适当，式(10)的特征多项式是严格Hunvitz的，即特征多项式的根都严格地位于复平面的左半平面。这就意味着lime(t)=0，即闭环系统是全局渐近稳定的。因为系统动态特性和外部负载扰动可能是未知的，或是存在扰动，因此反馈线性化控制律u(t)在实际应用中是无法实现的。因此本文选择自适应模糊滑模控制系统来模拟反馈线性化控制律，如果选α_i为一个可调整的参数，式(10)可改写为：

 式中：参数矢量回归矢量ζ=

其中ζi定义为：

        根据全局近似理论[13]，存在一个式(13)形式的****模糊控制系统u_fz(s，α)，即：

式中：ε为近似误差，并假设是有界的，|ε|fz(s，α)来近似u(t)：

式中：α是α的估计矢量。

  伺服电动机白适应模糊滑模控制系统的方框图如图3所示。控制律采用下面的形式：

其中，模糊控制u_fz为主跟踪控制器，用来模拟反馈线性化控制律u(t)；设计hitting控制uvs来补偿反馈线性化控制律和模糊控制之间的误差。将式(17)代入式(5)，得到：

    通过一些直接的处理，控制闭环系统的误差方程可以从式(7)、式(11)和式(18)得到：

u_fz用下式表示：

为便于分析问题，定义：α=α-α，通过式(15)和式(16)得到式(20)的另一种形式：

    Lyapunov方法的基本理论是基本的物理观测的数学扩展。如果一个系统的全部能量是连续消散的，那么这个系统必须最终稳定于平衡状态。因而可以引入一个适当的控制律和自适应律，进而从分析能量函数(Lyapunov函数)的下降变化来推断系统的稳定性。为了促使状态s(t)和α趋于零，考虑如下的备选Lyapunov函数：

式中：η1是一个正常数。对上式求导，得到：为了使得V₁≤0，自适应律和hitting控制器取为下面的形式：

式中：sgn(·)为符号函数。式(23)可以写成下面的形式：

这就意味着V₁是一个负半定函数。定义下面这一项：

因为V₁[s(0)，α]是有界的，V₁[s(t)，α]是非增且有界的，那么：

P(t)也是有界的，由Bsrbalat引理[10]可知limp(t)=0，即当t—0时，S(t)一0。综上所述，自适应模糊滑模控制系统如式(17)所示，其中u_fz如式(16)所示，参数α通过式(24)进行调节，uvs如式(25)所示。通过应用自适应控制律和hitting控制律，自适应模糊滑模控制系统是Lyapunov稳定的。

 

6结语

    本文分别将模糊滑模控制、自适应模糊滑模控制和带有边界估计的自适应模糊滑模控制应用于伺服电动机位置和速度控制系统中，成功地将自适应技术应用于稳定的模糊滑模控制器的设计中。基于Lyapunov稳定性理论的自适应律能自动调整模糊规则，从而保证了系统的稳定性，而且提出了边界估计来缓解hitting控制中对边界值的需要。通过仿真结果可以看出，所没计的系统不仅可以得到令人满意的跟踪响应，而且抖振现象也明显地削弱了。