两相行波超声波电动机系统平均值模型研究

庞华山，史敬灼，刘兆魁

河南科技大学，河南洛雕471003)

    摘要：利用广义平均值法建屯了包含驱动电路的行波超声波电动机系统平均值横型，通过时变基波傅里叶系数反映系统动态特肚基于机电转换原理建盘了便于控制优化应用的谐振变换器模型；把解析法应用于逆变和定转子接触模块，反映界面接触力的非线眭作用。模型仿真结果与实验数据的对比表明，该模型较好地反映行波超声波电动机系统非线_生动态特性的土要方面；而且与瞬时值计算模型相比，模型简化，计算时问显著减少，有利于实时控制应用。

    关键词：超声波电动机系统：建模；平均值模型

    中图分类号：TM383  文献标识码：A  文章编号：lIlIl4—7018(201 0)01一lIll04—05

0引  言

    行波超声波电动机是利用压电陶瓷的逆压电效应把电能转化为定子质点的高频振动，然后通过定／转子摩擦耦合作用使电机定子的机械振动能转换成电机转子的旋转动能的新型驱动装置：超声波电动机的工作性能不仅与其结构、材料、制作工艺有关，而日与电机的驱动和控制系统有重要关系：因此对超声波电动机模型的研究为其没计与应用控制提供必不可少的理沦基础。

    超声波电动机的模型研究分为基于电机设计的结构模型和基于电机伺服控制的驱动控制模型：但是，由于超声波电动机控制复杂且具有高度的非线兰，目前尚无有效的结构模型来描述其工作过程，电参数随驱动系统变化具有时变性：因此，为优化兰个驱动系统的性能，得到更好的控制策略，本文从动控制的角度出发，在利用文献[2]驱动系统模三基础上，建立超声波电动机系统的平均值控制模三并对其进行仿真分析与实验验证，得出适合控制的可调频、调相、调占空比的仿真模型，对超声波电动机的伺服应用具有重要的实际意义。

l行波超声波电动机驱动系统模型

    用机电等效变换的方法得到超声波电动机的单相等效电路，如图1所示。

网中，压电陶瓷等效电容，L₁、c。和月。表示振动定子等效电量，f，表示机械驱动力的等效电压。电机的驱动控制对象是极化的压电陶瓷，合成的行波要求两相驱动电压频率与幅值相同，相位差90^。或可调。超声波电动机振动的激发需要两相逆变电路驱动，由于压电陶瓷显示容性，为得到高频驱动电压‰，减小系统对噪声的敏感度需要在驱动电路中串联电感，这时驱动电路和电机形成谐振回路，即电机也是谐振回路的一部分。实际中，在非理想电机工作条件下，两相谐振驱动电路必须确定准确的控制量才能获得****的电机性能。因此，选用两相全桥谐振逆变驱动电路为电机提供高频正弦电压D1。电路的拓扑结构如图2所示。

电路独立控制参数为开关频率上，两相导通时间≯，、恍满足相位差p1=p一p=90。的控制关系来控制两相振动的相位角以及丽相导通占窄比卢-、卢来控制两相电压幅值：开关量的波形及参数定义如图3所示．

为MOSFETS的驱动信号， Ltinv2为逆变输出电压。单相谐振变换等效电路模型。一如图4所示。

图中，为变压器系数，R．。、为MOS—FETS副边等效电阻，分别为逆变阶段谐振电路在变压器副边侧总的等效电阻和电感：在此基础E，由于变换器的电感L。与串联电感L、值相比较大，应用控制模型时可忽略磁化电流i。为进一步简化，引入调整电压u：

式中，作为机械振动定子的等效电量反馈给逆变电路，得到单相谐振变换器的简化状态方程：

   定子振动的关系由机电耦合系数A来联系。考虑电机两相不对称及定／转子接触作用对定子振动的影响，用模态刚度 与耦合l：扰系数s₁、s₂近似描述压电／定子振动系统。由式(1)得出反映振动定子动态特性的状态方程：

定转子模型的输入量是时变的两个模态虬(f)，(t)，转子转速m与反映转子轴向运动的状。输出量转矩Ⅵ。、转速∞及轴向压力行波幅值w和预压力F。有关：要准确描述定子振f≤动就不可忽视定子与转子接触相互作用产生的矢量接触力对定子振动的影响.

2适用于优化控制的平均值模型 

根据行波超声波电动机驱动的电气与机械谐振结构特点，状态变量的基波分量为主要纽成部分，此可由下式近似该状态量：

为获得合适的控制模型来反映系统的动态特性，把时变基波傅里叶系数作为平均值；驱动模型的状态量。此建模方法称为广义平均值相。首先对原驱动系统模型中的状态变量进行时变傅里叶近似分析，然后把基波系数代入原动态系统的状态空间模型：从式(5)可知，基波系数是时变的，当系统调整时，町研究这些量的动态特性。照此处理后，得到以时变基波傅里叶系数为状态量的近似转换模型。对系统非线性的分析采用解析法，由于谐振器具有很强的低通滤波特性，则系统非线性特性同样可由基波分量近似。广义平均值法已用于各种谐振变换器拓扑，本文选用两相逆变电路加串联电感与电机构成谐振变换器，建立平均值驱动系统模型：驱动器的非线性主要存在于两相逆变阶段和定／转子接触模型：因此，必须推导出逆变输出电压u。和矢量接触力凡的基波分量解析函数。而电机转矩和轴向力由傅里叶分析的直流分量来表示。

2．1谐振变换器平均值模型

    对逆变器的状态量按式(5)作如下近似，得出每相电量的方程式：

式中：基波分量系数u、u。是时变的。作为平均值变换器模型的状态量：

同样图2中逆变器输出电压可表示为：

根据电路的开关特性，逆变输出电压的基波分量系数可表示为开关频率、导通占空比以及初始相位的方程式：

式(2)中反馈电量控制。为获得合适的机电耦合系统模型，模态幅值由下列方程近似表示：

把式(6)～式(9)和式(t)代人到状态空间模型式(2)中，采用谐波平衡的方法…消除两边快速时变的正弦与余弦量，对原有状态变量进行谐波近似，得平均值变换器模型：

系统矩阵A。输入矩阵B。由电机参数决定。

2 2定子平均值模型

    忽略定转子接触力的作用得出线性模型，然后再考虑非线性矢量接触力F。，得出平均值定／转子接触模型。在忽略非线性接触力F。时，根据对模态幅值w的谐波近似以及与模态速率的关系，把式(3)的状态变量变为新的定子状态量：

略式(3)中模态力，将式(15)代替式(3)中的状态量，得到式(16)为平均值定子模型。系数

矩阵A。。和B。由电机参数、驱动频率以及定转子接触情况确定。

2 3定／转子接触平均值模型

    要研究平均值定／转子接触机制，接触力n、转矩M。和轴向力t的解析式必须计算出来。文献[2]对不同情况下非理想行波的接触机理进行了研究。在理想行波的稳定情况下，接触力是不变的，这意味着平均值没有必要了。而非理想行波下接触力是时变的，所以采用平均值的方法处理。平均时间间隔取，周期t与定子表面质点椭圆轨迹的对称性有关。由于平均值接触模型中，输入量在平均时间间隔内是不变的，则式(3)的模态速率，可近似为：

其余的输入量是模态幅值和转子状态量。

    由于分析平均值的方法无法得出转矩及接触力的解析式，在此对接触力F。、转矩M。及轴向力t的平均值采用数值积分的方法得到。定子表面质点轴向和切向变形非线性矢量接触力由两部分组成：

Fa。是与正常压力分布有关的法向力，F是沿接触区域的切向分布压力。z为单个行波的接触区域，为接触边界都随时间变化。在不同接触情况下计算，。时，必须按文献[2]中讨论的情况区分p。(z)和≯。(z)。由于接触区域及边界伴随行波幅值、预压力及负载变化而呈现非线性变化，系数矩阵具有时变性.为了得到解析的接触力函数必须求出接触力的基波傅里叶系数：

   

    把式(13)的基波系数代入式(19),写为矩阵形式:

时变系数矩阵Aφ。按文献[1]中不同接触条件下由式(19)积分得出，系数矩阵伴随预压力、负载的变化而产生非线性变化，仿真时还需要通过数学关系及实验数据进行推算与修正。系数矩阵Aφ与式(16)的定子矩阵Ast相结合，组成系统矩阵Am反映机械振动系统总的动态特性。从式(20)可知，接触力的非线性作用导致振动定子谐振频率、阻尼特性及系统刚度系数非线性变化[5]。因此，需要采用智能控制策略优化驱动器控制。当对作用于转子的接触力仿真时，由于电机转矩和轴向力的直流值特点，其解析式由数值积分得到：

2．4平均值转子模型

    在分析转子的动态性能时，要考虑旋转和轴向两个自由度的运动。平均值转子模型旋转运动方程为：

式中：ML为预加负载；J为驱动的转动惯量。由式(22)得轴向运动方程：

式中：m_R为转子质量；dz为接触层阻尼系数；WR为定子轴向运动状态量。在整个驱动系统仿真时，转子和接触模型比变换器和定子模型的抽样频率低，在高频时转子动态特征不能充分反映。因此，为采用平均值模型仿真，式(24)的轴向运动近似如下：

 

   为跟随缓慢变化的行波振幅w，参数Kep的选择必须满足既能反映转子的动态性，又要避免仿真时由于抽样点的减少而引起的数值稳定性问题[5]。

  3 平均模型仿真与实验对比分析   

根据式(12)、式(14)、式(16)、式(20)、式(23)及式(25)，利用M atJab仿真平台对各个子模块进行封装连接，仿真流程图如图5所示。状态空间系数矩阵及定转子相互作用引起的系统刚度系数矩阵的变化采用m文件编程实现.仿真结果与实验波形如图6,图7所示.

   采用usR60行波超声波电动机参数进行仿真与实验．驱动电压有效值120 V，频率为42.05 kHz，占空比是35，相位差90^。，对驱动电压形进行对比分析，如图6所示。仿真驱动电压波形在电机起动过程中显示时变波动，原因一是由于转子旋转后对定子振动产生影响，系统矩阵引入接触力系数矩阵Aφ该矩阵非线性变化，在仿真时是通过数学关系估计与推算的，且随预压力的变化而变化，其准确性不高，直接影响仿真的定子振动和系统的谐振频率变化，导致驱动电压幅值波动，降低了驱动系统的动态性能；二是串联电感的匹配，它决定了电路谐振状态的性质和谐振频率，进而影响电压幅值变化。从图6与图7a可知，电学量的包络响应速度比机械量快。这与死区频率有关，驱动频率和机械谐振频率的死区频率点不同，机械谐振频率与电路谐振频率相比更接近驱动频率。模型仿真时间为17 ms，与文献[2]模型相比，平均值模型缩短了仿真时间。