基于能量等效的行波型超声波电动机分析模型
陈祥华
(浙江工业大学，浙江杭州3l00114)
摘要：利用能量等效原则把环形压电复合定子等效成等直粱结构，综合考虑压电复合定子的机械损耗(包括压电陶瓷和金属基体的损耗)、转动惯量和剪切变形，利用铁术辛柯粱振动理论得到了压电复合定子在自由状态下的频率方程和受迫状态下的振动解析解；利用库仑摩擦接触理论建立了定、转子之间的力传递模型，探讨了接触角与定、转子预压力、振动幅值、摩攘材料弹胜刚度之间的关系，给出r电机稳态时的输出力矩表达式，并分析了电机能量损耗的组成，通过把定、转子接触面的摩擦损耗和转子的输出功率等效为定子振动的弯曲阻尼损失，建立了电机的输出效率表达式，从而系统地建立了基于能量等效的行波型超声波电动机特胜的解析模型。
关键词：行波型超声波电动机；能量等效；数学模型
中图分类号：TM38 文献标识码：A 文章编号：1004—7018(2008)04—0018一04
O引 言
超声波电动机与电磁型电机比较，具有低速大力矩、响应快、保持力矩大和结构简单(不需要铁心和绕组)等优点。其中，行波型环状超声波电动机的应用****，它是由定子和转子组成，定子由压电晶体的逆压电效应作用产生强迫振动而形成行波，行波又通过定转子接触面的摩擦力使转子运动。由于该电机利用的是定子高频振动，因此要提高效率和可靠性，并建立相应的设计理论，就必须知道电机定子的振动特性以及电机输出的机械特性。目前常用的分析方法是FEM(有限元分析)[1-3]。而这些研究结果表明定转子是相互耦合的，目前的众多方法只能计算单独定子(不计转子和负载影响)的动特性，难以预估电机的特性和定转子参数对电机特性的影响，更不能从电机性能指标要求来确定电机定转子参数，从而导致目前超声波电动机的设计主要是通过经验法，尚缺乏一个有效计及定转子耦合的数学模型，使之适合的分析和求解。为此，本文研究了基于能量等效的行波型超声波电动机稳态特性的分析计算解析模型。
1压电复合定子环的等效分析模型
1.1压电复合定子环的等效分析参数
行波型超声波电动机的定子主要是由压电陶瓷和带有齿的环状金属弹性体构成，其结构如图l所示。定子表面开齿，其作用是在不影响定子复合梁弯曲刚度和固有频率的情况下，增大定子振动幅值，提高转子转速。
由于定子环是工作在一个已知的超过20 kHz高阶模态上，定子环阻抗在此点最小，相应的振动能量****，此时，曲率效应对该阶模态频率的影响很小，因此可将图1中的复合定子环展成一根等直梁考虑。而由于支撑部分的厚度相对于电机定子弹性体厚度小得多，且其为弯曲刚度(周向)较小的薄弱环节，支撑部分位于整个定子的中性面上，此时应变为零，因此可认为其对电机特性的约束影响较小[4]。考虑到槽深hf比梁的厚度he相比较小，且槽宽bs远小于定子工作时的波长λ，因此，利用能量等效原则把具有齿槽的梁视作无齿槽的等直梁。即铁木辛柯(Tmoshenko)梁。等效原则是按等效前后的动能和势能分别相等原则，且等效前后梁的高度不变，取梁的对称面上中间轴为x轴，则可得等效密度peq等效杨氏模量Eeq、等效剪切模量Geq为：
性梁厚度之比，ks为所有槽宽之和与定子环节圆周长L之比，pe为弹性梁的材料密度，be为弹性梁的宽度，ht和he分别为弹性梁的齿高和梁厚度，Ee和Ge分别为定子金属的杨氏模量和剪切模量。
因定子环背面贴有厚度hp和宽度bp的压电陶瓷，所以定子环是一个复合梁。由梁弯益振动理论可确定复合梁的上表面至中性层的距离D：
则复合压电等直粱的杨氏模量E、截面惯性矩l、平均密度p和剪切模量G为[5]：
1．2压电复合定子环的振动频率方程
弹性体定子环是在高阶谐振频率下工作，所以应计及剪切变形和转动惯量的影响，令  则由梁的振动理论可知，其谐振频率为： 式中：K为取决于截面形状的因子，矩形截面时取0．85。将上式用两项展开，得到：
 要说明的是，式(4)并没有考虑预压力的影响。由于摩擦层动态变形量比静态变形量小得多，因此可以认为预压力 F=k~u(x,t)，则考虑预压力的影响： 由上式可知，电机谐振频率随预压力的增加而增大。
1．3压电复合定子环的受迫振动解析式
由于定子振动波形是由两组压电片激振的驻波叠加而成的行波，并且假设条件可知定子环系统是线性的，因此，在分析时只须考虑一组压电片激振产生的驻波振动：另外，当复合梁作横向弯曲振动(驻波)时，每两片压电片交接的非极化区所在中性层处的位移和弯矩都为零，  因此可把每一个压电片对应的复合梁作为简支梁来处理。在压电片z方向施加电压V(x，t)=Vmsinωt，x∈(O，l)，根据压电陶瓷的逆压电效应[6]，则压电片在x轴方向产生的应变为：
式中：d31为压电应变常数：应变产生的弯曲力矩为一对大小相等、方向相反作用于等直复合梁x∈(O，l)的两端，其力矩为：
考虑梁的结构阻尼和外部激励，根据D Alenbert原理，可建立压电片对应的等效压电复合简支梁的强迫振动方程为：
要说明的是：预压力在这里看成是系统结构阻尼的一部分，它与摩擦层材料特性有关，6为结构耗。 散的等效力矩衰减系数。
最后可得到压电片对应的等效压电复合简支梁的稳态响应别为：
2接触面力传递模型
电机稳态工作时，定、转子接触面上各点的速度在任意时刻t的变化仅与该点在接触面上的位置有关，因此可以将定子中性层的弯曲振动位移简化为ω0=ξsinθ。设转子速度为vm，定转子接触面上定子表面某点的切向速度为目，若这点的预压紧力为△F，则这点产生的推力△Fm[7]：
式中：ε为反映摩擦力大小的比例常数，v-vm为定转子相对滑动速度：
电机工作达到稳定状态时，每个波长受定转子预压力F的作用，Φ角表示接触面的起始位置，φ角表示接触面大小，且有φ=π-2φ，φ1表示定转子速度相等时的接触角。由于转子金属材料较硬，可认为转子不产生变形，只有摩擦层发生变形，则接触 ，面上某接触点θ处摩擦材料的变形量为：
设kf为转子摩擦材料的分布刚度，Ef为摩擦材料的弹性模量，df为摩擦材料的材料密度，hf为犀擦材料的厚度，接触点的分布压紧力△F可表示如下．
由于弹簧一般较软，压紧量的量级以mm为单位，而定子表面的振幅ξ以μm为数量级的，因此稳态工作时的乐紧力和预压力近似相同，则每个波长产生总的压紧力F：
由于接触面上各点摩擦力都满足式(14)，这样转子受到的推力Fm为接触面上各点分布摩擦力的和：
式中:M2=π-2φ-sina2φ=φ-sinaφ,υs0为定子波表面波峰点的切向速度，定子表面上其余点的切向速度为：
设转子有效接触半径为Rav，则整个接触面的输出力矩M、输出功率Pm为：
当定子表面质点速度大于转子速度时，摩擦推力作正功；而当定子表面质点速度小于转子速度时，摩擦推力作负功。因此，摩擦接触面的损耗Pr为:
由此可求得定、转子接触面的总功率P和传递效率ηm：
3能量等效数学模型
由式(13)可见，定子振动不仅取决于定子结构参数(包括压电材料)和压电片陶瓷元件上驱动电压和驱动频率，预紧力和负载也会影响摩擦接触面的接触角、分布压紧力等，从而影响定子的振动。实际的定子振动情况中存在摩擦界面边界的动约束，并且处于工作状态的定子振动是负载和转子耦合的，因此，要考虑定子表面具有可变分布力的系统振动十分困难，为此采用能量等效的原则来分析：将转子的能量输出和定转子的摩擦损耗当作定子振动的结构损耗，并用粘性阻尼效应处理，相当于系统定子有一粘性阻尼力矩作用，即：
式中：δ为结构耗散的等效力矩衰减系数，与式(10)中的δ意义相同，包括定子弹性体内部的机械损耗和压电片内部的机械损耗。弹性体内部的机械损耗是由于在交变力矩作用下组成弹性体小单元振动微观滞后，互相间产生摩擦挤压所消耗的能量；压电陶瓷内部损耗是由于在多畴的压电体中，在交变电场作用下，畴壁振动微观滞后，壁与壁之间产生摩擦挤压所消耗的能量。它们都是克服内摩擦以热能的形式消耗掉。
在结构阻尼中，每次弯曲的能量损耗与材料的弯曲刚度和弯曲角度的平方成正比，与频率无关[8]，即：
式中：β为结构阻尼系数，X为弯曲角度幅值。引入弹性体机械结构阻尼系数ηe和压电片机械阻尼系数ηp，则一个周期内复合定子结构损耗为：
则电机一个周期内所作全部功由三部分组成：电机定子的结构损耗Ws、摩擦接触面损耗职Wr电机转子输出功Wm，即：
将式(24)和(25)代入式(26)，可得到总的等效力矩衰减系数为：
式中：δs代表弹性梁和压电片总机械能耗的等效力矩衰减系数，δr和δm分别代表摩擦接触面滑动摩擦损耗和转子输出的等效力矩衰减系数，分别为：
则电机总的运行效率为：
由此建立的基于能量等效的行波型超声波电动机分析模型。在具体求解时．先利用式(19)和式(20)代人式(28)将δ表示为φ的函数，然后再与式(11)和式(15)联立求解确定接触角参数φ和振幅ξ，最后可由式(19)和式(29)分别确定机械特性和电机效率。
4结语
本文针对行波型超声波电动机特性的分析模型进行详细研究，利用能量等效原则把环形压电复合定子等效成等直梁结构，综合考虑压电复合定子的机械损耗(包括压电陶瓷和金属基体的损耗)、转动惯量和剪切变形，利用铁木辛柯梁振动理论得到了压电复合定子在自由状态下的频率方程和受迫状态下的振动解析解，并利用库仑摩擦接触理论建立了定、转子之间的力传递模型，给出了电机稳态时的输出力矩表达式，并分析了电机能量损耗的组成，通过把定、转子接触面的摩擦损耗和转子的输出功率等效为定子振动的弯曲阻尼损失，建立了电机的输出效率表达式，从而系统地建立了基于能量等效的行波型超声波电动机特性的数学解析模型，可用于行波型超声波电动机的设计。
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